Ultimamente tenía ganas de publicar una entrada relacionada con los llamados números metálicos y en particular con el famoso número de oro, justamente me acordé de haber visto algo al respecto mientras navegaba por la web. Este documento está, a mi criterio, elaborado de manera excelente por lo cual me contacté con su autor para proponerle republicar su artículo a través de este blog. A Ignacio (así se llama su autor) le pareció una buena idea asi que con su aprobación y gracias a la ayuda de la herramienta de Scribd aquí estamos. ¡¡El artículo no tiene desperdicio!! Espero que lo disfruten.


El número de oro

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A continuación agrego la dirección del portal "Curiosidades matemáticas" de Ignacio Langarita en donde pueden encontrar este y otros artículos con contenido matemático interesante.

http://rt000z8y.eresmas.net/matemat.htm

Saludos a todos y en particular mi agradecimiento a Ignacio por permitir compartir su trabajo con nosotros.

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El editor de sitmo es una herramienta útil que te permite crear ecuaciones y guardarlas en formato de imagen con extensión png para luego publicarlas en tu sitio web, documentos, e-mail, foros etc (mediante un click podemos descargar la imagen o pulsando sobre "permanent link to this image" obtenemos la url que nos puede ser útil para, por ejemplo, utilizarla en un sitio web).
Está creado en código LaTeX que es un código abierto y gratuito. Saludos.

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codebase="http://www.geogebra.org/en/upload/files/reomsi2000/"
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La planilla es dinámica. Posicionándote sobre los vértices del triángulo podés ir variando los valores de los lados y verificar que la propiedad se sigue cumpliendo.

Pitágoras de Samos (582 a.C.-507 a.C. aproximadamente) es considerado un profeta y místico, nacido en Samos, una de las islas Dodecanesas, no muy lejos de Mileto, el lugar en donde nació Tales. Algunos dicen que Pitágoras fue alumno de Tales, pero eso no parece muy probable debido a la diferencia de casi medio siglo entre ambos. Lo que sí es más probable es que Pitágoras haya ido a Babilonia y a Egipto, e incluso a la India, para tener información de primera mano sobre matemática y astronomía, y, eventualmente, también sobre religión.
Pitágoras fue, casualmente, contemporáneo de Buda, Confucio y Lao-Tsé, de manera que el siglo estaba en plena ebullición desde el punto de vista de la religión, así como de las matemáticas.
Cuando retornó a Grecia, se estableció en Crotón, en la costa sudeste de lo que ahora es Italia, pero que en ese momento se conocía como “la Magna Grecia”. Ahí estableció una sociedad secreta de base matemática y filosófica.
Que Pitágoras permanezca como una figura oscura se debe en parte a la pérdida de todos los documentos de esa época. Algunas biografías de Pitágoras fueron escritas en la Antigüedad, inclusive por Aristóteles, pero no sobrevivieron. Otra dificultad para identificar claramente la figura de Pitágoras obedece al hecho de que la orden que él estableció era comunal y secreta. El conocimiento y la propiedad eran comunes, de manera tal que la atribución de los descubrimientos no se la hacía alguien en particular, sino que era considerada patrimonio del grupo.

Los versos de oro
atribuidos a Pitágoras

Honra, en primer lugar, y venera a los dioses inmortales,
a cada uno de acuerdo a su rango.
Respeta luego el juramento, y reverencia a los héroes ilustres,
y también a los genios subterráneos:
cumplirás así lo que las leyes mandan.
Honra luego a tus padres y a tus parientes de sangre.
Y de los demás, hazte amigo del que descuella en virtud.

Cede a las palabras gentiles y no te opongas a los actos provechosos.
No guardes rencor al amigo por una falta leve.

Estas cosas hazlas en la medida de tus fuerzas,
pues lo posible se encuentra junto a lo necesario.

Compenétrate en cumplir estos preceptos,
pero atiénete a dominar
ante todo las necesidades de tu estómago y de tu sueño,
después los arranques de tus apetitos y de tu ira.

No cometas nunca una acción vergonzosa,
Ni con nadie, ni a solas:
Por encima de todo, respétate a ti mismo.

Seguidamente ejércete en practicar la justicia, en palabras y en obras,
Aprende a no comportarte sin razón jamás.

Y sabiendo que morir es la ley fatal para todos,
que las riquezas, unas veces te plazca ganarlas y otras te plazca perderlas.

De los sufrimientos que caben a los mortales por divino designio,
la parte que a ti corresponde, sopórtala sin indignación;
pero es legítimo que le busques remedio en la medida de tus fuerzas;
porque no son tantas las desgracias que caen sobre los hombres buenos.

Muchas son las voces, unas indignas, otras nobles, que vienen a herir el oído:
Que no te turben ni tampoco te vuelvas para no oírlas.
Cuando oigas una mentira, sopórtalo con calma.

Pero lo que ahora voy a decirte
es preciso que lo cumplas siempre:
Que nadie, por sus dichos o por sus actos,
te conmueva para que hagas o digas nada que no sea lo mejor para ti.

Reflexiona antes de obrar para no cometer tonterías:
Obrar y hablar sin discernimiento es de pobres gentes.
Tú en cambio siempre harás lo que no pueda dañarte.

No entres en asuntos que ignoras,
mas aprende lo que es necesario:
tal es la norma de una vida agradable.

Tampoco descuides tu salud,
ten moderación en el comer o el beber,
y en la ejercitación del cuerpo.
Por moderación entiendo lo que no te haga daño.
Acostúmbrate a una vida sana sin molicie,
y guárdate de lo que pueda atraer la envidia.

No seas disipado en tus gastos
como hacen los que ignoran lo que es honradez,
pero no por ello dejes de ser generoso:
nada hay mejor que la mesura en todas las cosas.

Haz pues lo que no te dañe, y reflexiona antes de actuar.
Y no dejes que el dulce sueño se apodere de tus lánguidos ojos
sin antes haber repasado lo que has hecho en el día:
"¿En qué he fallado? ¿Qué he hecho? ¿Qué deber he dejado de cumplir?"
Comienza del comienzo y recórrelo todo,
y repróchate los errores y alégrente los aciertos.

Esto es lo que hay que hacer.
Estas cosas que hay que empeñarse en practicar,
Estas cosas hay que amar.
Por ellas ingresarás en la divina senda de la perfección.
¡Por quien trasmitió a nuestro entendimiento la Tetratkis,
la fuente de la perenne naturaleza.

¡Adelante pues! ponte al trabajo,
no sin antes rogar a los dioses que lo conduzcan a la perfección.
Si observares estas cosas
conocerás el orden que reina entre los dioses inmortales y los hombres mortales,
en qué se separan las cosas y en qué se unen.

Y sabrás, como es justo, que la naturaleza es una y la misma en todas partes,
para que no esperes lo que no hay que esperar,
ni nada quede oculto a tus ojos.

Conocerás a los hombres,
víctimas de los males que ellos mismos se imponen,
ciegos a los bienes que les rodean, que no oyen ni ven:
son pocos los que saben librarse de la desgracia.
Tal es el destino que estorba el espíritu de los mortales,
como cuentas infantiles ruedan de un lado a otro,
oprimidos por males innumerables:
porque sin advertirlo los castiga la Discordia,
su natural y triste compañera,
a la que no hay que provocar, sino cederle el paso y huir de ella.

¡Oh padre Zeus! ¡De cuántos males no librarías a los hombres
si tan sólo les hicieras ver a qué demonio obedecen!

Pero para ti, ten confianza,
porque de una divina raza están hechos los seres humanos,
y hay también la sagrada naturaleza que les muestra y les descubre todas las cosas.
De todo lo cual, si tomas lo que te pertenece,
observarás mis mandamientos,
que serán tu remedio, y librarán tu alma de tales males.

Abstente en los alimentos como dijimos,
sea para las purificaciones, sea para la liberación del alma,
juzga y reflexiona de todas las cosas y de cada una,
alzando alto tu mente, que es la mejor de tus guías.

Si descuidas tu cuerpo para volar hasta los libres orbes del éter,
serás un dios inmortal, incorruptible,
ya no sujeto a la muerte

El lema de la Escuela Pitagórica fue: "Todo es número" y su emblema el pentágono estrellado. Los pitagóricos creían que, merced a las matemáticas, el alma podría ascender a través de las esferas hasta unirse finalmente a Dios.

Pitágoras

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A continuación presento un excelente documento elaborado por el museo de ciencia y el agua del ayuntamiento de Murcia en conmemoración al año de la ciencia en España. ¡¡¡Para no perdérselo!!!

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Cuando estudiamos matemática (y cuando enseñamos también) a muchos de nosotros nos agrada que todo aquello de lo que estamos viendo tenga una demostración y no solo aceptar de buena fe lo que de nuestros educadores parte. Si bien esto casi siempre es así, hay situaciones en donde la justificación se deja de lado y se pasa directamente a la enunciación de una regla de la cual desconocemos su origen o cuanto menos una simple explicación de porqué es así.

Un ejemplo de esto es la tan conocida regla de los signos para el producto y la división (está última es la operación inversa de la multiplicación y por lo tanto su justificación se desprende a partir de la de esta) y en particular el caso de que menos por menos da más.

¿Cómo puede ser que dado dos números negativos cuando los multiplico se conviertan automáticamente en un número positivo?

Generalmente se asocia a la multiplicación con el hecho de hacer crecer o incrementar ya sea un valor positivo o una deuda, por lo cual este caso se manifiesta contrario a la intuición que tenemos de esta operación.

Veamos ahora algunas justificaciones al respecto de esto:

Por algún lado escuché la siguiente analogía.

Los amigos de mis amigos son mis amigos
Los amigos de mis enemigos son mis enemigos
Los enemigos de mis amigos son mis enemigos
Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos

Esta podría ser una original forma de justificar una regla matemática, si no fuera porque de matemática tiene muy poco. Así que traté de investigar un poco más y encontré lo siguiente:

3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco dólares tienes 15 dólares.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco dólares es como pagar una multa de 15 dólares.
(-3) × 5 = -15: Que no te den tres veces cinco dólares es como que no te den 15 dólares.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco dólares es como que te den 15 dólares.

Israel Geland. "The Riemann Hypothesis. The Greatest Unsolved Problem in Mathematics".


Bueno va mejorando, pero hay más. En un programa de televisión (Científicos Industria Argentina) escuché la siguiente justificación a este mismo tema:

Imaginemos que vamos conduciendo un vehículo por una ruta a cuarenta kilómetros por hora, al cabo de tres horas recorrimos:

3 x 40 = 120 (kilómetros hacia delante)

De manera similar podemos analizar que si venimos andando desde hace tiempo y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas:

(-3) x 40 = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y si en vez de ir hacia delante íbamos marcha atrás. Al cabo de tres horas habremos recorrido:

3 x (-40) = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y ahora: ¿si venimos andando desde hace tiempo pero marcha atrás y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas?

(-3) x (-40) = 120 (kilómetros hacia delante)


Todo esto está muy bonito, pero para aquellos que todavía no se convencieron y quieren algo con más fundamento matemático paso a dar la siguiente demostración del caso particular menos por menos (los otros tres casos se deducen sin dificultad de la definición de producto en naturales y la propiedad conmutativa de la multiplicación).

-1 es el inverso aditivo del 1, entonces, por definición se verifica

1 + (-1) = 0
Multiplicamos por (-1):
(-1)(1 + (-1)) = (-1)0
Pero 0 por cualquier cosa es 0
(-1)(1 + (-1)) = 0
Por ley de distributiva de la multiplicación en la suma
(-1) + (-1)(-1) = 0
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
1 + (-1) + (-1)(-1) = 1
Como 1 + (-1) = 0 entonces
0 + (-1)(-1) = 1
Entonces
(-1)(-1) = 1

Ahora, todo número real -p < 0 se puede expresar por (-1)p. Entonces si multiplicamos dos números con signo negativo se verifica

(-p)(-q) = (-1)p(-1)q

Por ley conmutativa en la multiplicación eso equivale a
(-p)(-q) = (-1)(-1)pq

Pero (-1)(-1) = 1, entonces
(-p)(-q) = 1pq

pero 1 es el neutro multiplicativo, entonces
(-p)(-q) = pq


Aunque pareciera que el tema ya está agotado y no hay más secretos respecto del mismo, les comento que a lo largo de la historia de la matemática esta cuestión ha sido analizada por muchos de sus representantes más destacados.
A continuación agrego un documento bastante completo que hace referencia acerca de esto.

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Para profundizar:

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Fuente: "Los grandes matemáticos" Eric Temple Bell

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