¿Por qué menos por menos da más?

   Cuando estudiamos matemática (y cuando enseñamos también) a muchos de nosotros nos agrada que todo aquello de lo que estamos viendo tenga una demostración y no solo aceptar de buena fe lo que de nuestros educadores parte. Si bien esto casi siempre es así, hay situaciones en donde la justificación se deja de lado y se pasa directamente a la enunciación de una regla de la cual desconocemos su origen o cuanto menos una simple explicación de porqué es así.

   Un ejemplo de esto es la tan conocida regla de los signos para el producto y la división (está última es la operación inversa de la multiplicación y por lo tanto su justificación se desprende a partir de la de esta) y en particular el caso de que menos por menos da más.

   ¿Cómo puede ser que dado dos números negativos cuando los multiplico se conviertan automáticamente en un número positivo?

   Generalmente se asocia a la multiplicación con el hecho de hacer crecer o incrementar ya sea un valor positivo o una deuda, por lo cual este caso se manifiesta contrario a la intuición que tenemos de esta operación.

   Veamos ahora algunas justificaciones al respecto de esto:

   Por algún lado escuché la siguiente analogía.

Los amigos de mis amigos son mis amigos
Los amigos de mis enemigos son mis enemigos
Los enemigos de mis amigos son mis enemigos
Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos

   Esta podría ser una original forma de justificar una regla matemática, si no fuera porque de matemática tiene muy poco. Así que traté de investigar un poco más y encontré lo siguiente:

3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco dólares tienes 15 dólares.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco dólares es como pagar una multa de 15 dólares.
(-3) × 5 = -15: Que no te den tres veces cinco dólares es como que no te den 15 dólares.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco dólares es como que te den 15 dólares.

Israel Geland. "The Riemann Hypothesis. The Greatest Unsolved Problem in Mathematics".


   Bueno va mejorando, pero hay más. En un programa de televisión (Científicos Industria Argentina) escuché la siguiente justificación a este mismo tema:

Imaginemos que vamos conduciendo un vehículo por una ruta a cuarenta kilómetros por hora, al cabo de tres horas recorrimos:

3 x 40 = 120 (kilómetros hacia delante)

De manera similar podemos analizar que si venimos andando desde hace tiempo y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas:

(-3) x 40 = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y si en vez de ir hacia delante íbamos marcha atrás. Al cabo de tres horas habremos recorrido:

3 x (-40) = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y ahora: ¿si venimos andando desde hace tiempo pero marcha atrás y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas?

(-3) x (-40) = 120 (kilómetros hacia delante)


   Todo esto está muy bonito, pero para aquellos que todavía no se convencieron y quieren algo con más fundamento matemático paso a dar la siguiente demostración del caso particular menos por menos (los otros tres casos se deducen sin dificultad de la definición de producto en naturales y la propiedad conmutativa de la multiplicación).

-1 es el inverso aditivo del 1, entonces, por definición se verifica

1 + (-1) = 0
Multiplicamos por (-1):
(-1)(1 + (-1)) = (-1)0
Pero 0 por cualquier cosa es 0
(-1)(1 + (-1)) = 0
Por ley de distributiva de la multiplicación en la suma
(-1) + (-1)(-1) = 0
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
1 + (-1) + (-1)(-1) = 1
Como 1 + (-1) = 0 entonces
0 + (-1)(-1) = 1
Entonces
(-1)(-1) = 1

Ahora, todo número real -p < 0 se puede expresar por (-1)p. Entonces si multiplicamos dos números con signo negativo se verifica

(-p)(-q) = (-1)p(-1)q

Por ley conmutativa en la multiplicación eso equivale a
(-p)(-q) = (-1)(-1)pq

Pero (-1)(-1) = 1, entonces
(-p)(-q) = 1pq

pero 1 es el neutro multiplicativo, entonces
(-p)(-q) = pq


   Aunque pareciera que el tema ya está agotado y no hay más secretos respecto del mismo, les comento que a lo largo de la historia de la matemática esta cuestión ha sido analizada por muchos de sus representantes más destacados.
   A continuación agrego un documento bastante completo que hace referencia acerca de esto.

Leonhard Euler



Para profundizar:
Fuente: "Los grandes matemáticos" Eric Temple Bell

Mini festival del cine y la matemática

Acá les dejo una serie de películas con referencia matemática.

Que disfruten el fin de semana largo. Saludos.

La habitación de Fermat

GENERO: Thriller
PAÍS: España
AÑO: 2007
ESTRENO EN CINE: 16-11-2007
ESTRENO EN DVD: 19-03-2008
DIRECTOR: Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña
GUIÓN: Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña
INTERPRETES: Alejo Sauras, Elena Ballesteros, Luis Homar y Santi Millán
PRODUCTOR: César Benítez, Adolfo Blanco y José María Irisarri
MÚSICA: Federico Jusid
FOTOGRAFÍA: Miguel Ángel Amoedo

Sinopsis:

Cuatro matemáticos desconocidos entre sí son invitados por un misterioso anfitrión con el pretexto de resolver un gran enigma. La sala en que se encuentran resulta ser un cuarto menguante que los aplastará si no descubren a tiempo qué los une y por qué alguien quiere asesinarlos.

Trailer:






Pi, fe en el caos


GENERO: Ciencia Ficción
PAÍS: Estados Unidos
DURACIÓN: 84 Minutos
AÑO: 1998
DIRECTOR: Darren Aronofsky
GUIÓN: Darren Aronofsky y Sean Gullette
INTERPRETES: Ben Shenkman, Mark Margolis, Pamela Hart y Sean Gullette
PRODUCTOR: Eric Watson
MÚSICA: Clint Mansell
FOTOGRAFÍA: Matthew Libatique


Sinopsis:

Un matemático cree que está cerca de encontrar un patrón numérico que pueda explicar el orden de la naturaleza y aplicarlo a las fluctuaciones de la bolsa de Wall Street. Pero provoca la ira de dos grupos: los judíos ortodoxos que buscan el nombre secreto de Yahvé y agentes contratados por los poderosos para tener la fórmula lo antes posible.

Trailer:





El cubo


GENERO: Ciencia Ficción
PAÍS: Canadá
DURACIÓN: 90 Minutos
AÑO: 1997
DIRECTOR: Vincenzo Natali
GUIÓN: Vincenzo Natali y Graeme Manson
INTERPRETES: Andrew Miller, David Hewlett, Nicky Guadagni y Nicole de Boer
PRODUCTOR: Mehra Meh y Betty Orr
MÚSICA: Mark Korven
FOTOGRAFÍA: Derek Rogers

Sinopsis:

Seis personas atrapadas en una prisión intentan encontrar una salida dentro de un extraño laberinto irreal delimitado por las seis caras de un cubo. Cada uno utiliza su ingenio con el objetivo de resolver el enigma que les conduzca a la libertad.

Trailer:





Lo que se viene:


   Ágora es el título de una película española dirigida por Alejandro Amenabar que se presentó en el festival de Cannes el último domingo. Tiene previsto su estreno para mediados de septiembre en España pero todavía no tiene fecha de lanzamiento para la Argentina. De Amenabar puedo agregar que es el director de "Mar adentro" una formidable película protagonizada por Javier Bardem que trata un tema tan delicado y controversial como es el de la eutanasia. Para esta última película se contó con la coproducción de EEUU y con un presupuesto que ronda los cincuenta millones de euros (aprox. sesenta y ocho millones de dólares). Una cifra que no sorprende, si nos referimos al cine americano, pero que supera con creces cualquier producción europea.

   Filmada en la isla de Malta, se trata de un drama histórico centrado en la figura de Hipatia de Alejandría (interpretada por la bellísima actriz Raquel Weisz), científica, matemática y filósofa neoplatónica, símbolo de la sabiduría pagana, asesinada presuntamente por elementos cristianos exaltados en el año 415 D.C. Hipatia fue la última directora de la biblioteca de Alejandría y según cuenta la historia luchó hasta último momento por salvar la sabiduría del mundo antiguo de las violentas revueltas religiosas del Siglo IV en Egipto que terminaron por alcanzar a su legendaria Biblioteca.

Esta es una película que espero con mucho entusiasmo y de la que tengo altas expectativas.
Acá les dejo los avances.

Newton y Leibniz. La disputa más famosa de la historia

   Lo maravilloso de la matemática es que ante un problema dado, por lo general, hay distintos caminos que nos pueden llevar a la misma solución. Esto aunque un tanto infantil, es lo que se me ocurrió al analizar la vida de Newton y Leibniz. Ellos eran dos personas totalmente diferentes, con valores y costumbres diferentes, uno inglés, el otro alemán; uno puritano, el otro mujeriego; uno discreto y reservado, el otro indiscreto y locuaz. Pero más allá de toda diferencia, lo que compartían era la genialidad. Cada uno por su lado, siguiendo caminos diferentes, llegaron a descubrir una de las herramientas más poderosas de la matemática "el cálculo diferencial e integral". Como era de esperarse, el mérito se lo atribuye a solo uno "Newton", pero sin embargo el estilo que logró mayor difusión fue el del alemán. Como diría mi madre, horneamos el pastel de uno, pero con la receta del otro.





Para profundizar
Fuente: "Los grandes matemáticos" Eric Temple Bell

Fuente: "Los grandes matemáticos" Eric Temple Bell

Borges y el infinito

El libro de arena

...thy rope of sands...
George Herbert (1593-1623)

La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes... No, decididamente no es éste, more geométrico, el mejor modo de iniciar mi relato. Afirmar que es verídico es ahora una convención de todo relato fantástico; el mío, sin embargo, es verídico.

Yo vivo solo, en un cuarto piso de la calle Belgrano. Hará unos meses, al atardecer, oí un golpe en la puerta. Abrí y entró un desconocido. Era un hombre alto, de rasgos desdibujados. Acaso mi miopía los vio así. Todo su aspecto era de pobreza decente. Estaba de gris y traía una valija gris en la mano. En seguida sentí que era extranjero. Al principio lo creí viejo; luego advertí que me había engañado su escaso pelo rubio, casi blanco, a la manera escandinava. En el curso de nuestra conversación, que no duraría una hora, supe que procedía de las Orcadas.

Le señalé una silla. El hombre tardó un rato en hablar. Exhalaba melancolía, como yo ahora.

-Vendo biblias -me dijo.

No sin pedantería le contesté:

-En esta casa hay algunas biblias inglesas, incluso la primera, la de John Wiclif. Tengo asimismo la de Cipriano de Valera, la de Lutero, que literariamente es la peor, y un ejemplar latino de la Vulgata. Como usted ve, no son precisamente biblias lo que me falta.

Al cabo de un silencio me contestó:

-No sólo vendo biblias. Puedo mostrarle un libro sagrado que tal vez le interese. Lo adquirí en los confines de Bikanir.

Abrió la valija y lo dejó sobre la mesa. Era un volumen en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné; su inusitado peso me sorprendió. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay.

-Será del siglo diecinueve -observé.

-No sé. No lo he sabido nunca -fue la respuesta.

Lo abrí al azar. Los caracteres me eran extraños. Las páginas, que me parecieron gastadas y de pobre tipografía, estaban impresas a dos columnas a la manera de una biblia. El texto era apretado y estaba ordenado en versículos. En el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página par llevara el número (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, 999. La volví; el dorso estaba numerado con ocho cifras. Llevaba una pequeña ilustración, como es de uso en los diccionarios: un ancla dibujada a la pluma, como por la torpe mano de un niño.

Fue entonces que el desconocido me dijo:

-Mírela bien. Ya no la verá nunca más.

Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz.

Me fijé en el lugar y cerré el volumen. Inmediatamente lo abrí.

En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja. Para ocultar mi desconcierto, le dije:

-Se trata de una versión de la Escritura en alguna lengua indostánica, ¿no es verdad?

-No -me replicó.

Luego bajó la voz como para confiarme un secreto:

-Lo adquirí en un pueblo de la llanura, a cambio de unas rupias y de la Biblia. Su poseedor no sabía leer. Sospecho que en el Libro de los Libros vio un amuleto. Era de la casta más baja; la gente no podía pisar su sombra, sin contaminación. Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen principio ni fin.

Me pidió que buscara la primera hoja.

Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro.

-Ahora busque el final.

También fracasé; apenas logré balbucear con una voz que no era la mía:

-Esto no puede ser.

Siempre en voz baja el vendedor de biblias me dijo:

-No puede ser, pero es. El número de páginas de este libro es exactamente infinito. Ninguna es la primera; ninguna, la última. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita aceptan cualquier número.

Después, como si pensara en voz alta:

-Si el espacio es infinito estamos en cualquier punto del espacio. Si el tiempo es infinito estamos en cualquier punto del tiempo.

Sus consideraciones me irritaron. Le pregunté:

-¿Usted es religioso, sin duda?

-Sí, soy presbiteriano. Mi conciencia está clara. Estoy seguro de no haber estafado al nativo cuando le di la Palabra del Señor a trueque de su libro diabólico.

Le aseguré que nada tenía que reprocharse, y le pregunté si estaba de paso por estas tierras. Me respondió que dentro de unos días pensaba regresar a su patria. Fue entonces cuando supe que era escocés, de las islas Orcadas. Le dije que a Escocia yo la quería personalmente por el amor de Stevenson y de Hume.

-Y de Robbie Burns -corrigió.

Mientras hablábamos, yo seguía explorando el libro infinito. Con falsa indiferencia le pregunté:

-¿Usted se propone ofrecer este curioso espécimen al Museo Británico?

-No. Se le ofrezco a usted -me replicó, y fijó una suma elevada.

Le respondí, con toda verdad, que esa suma era inaccesible para mí y me quedé pensando. Al cabo de unos pocos minutos había urdido mi plan.

-Le propongo un canje -le dije-. Usted obtuvo este volumen por unas rupias y por la Escritura Sagrada; yo le ofrezco el monto de mi jubilación, que acabo de cobrar, y la Biblia de Wiclif en letra gótica. La heredé de mis padres.

-A black letter Wiclif! -murmuró.

Fui a mi dormitorio y le traje el dinero y el libro. Volvió las hojas y estudió la carátula con fervor de bibliófilo.

-Trato hecho -me dijo.

Me asombró que no regateara. Sólo después comprendería que había entrado en mi casa con la decisión de vender el libro. No contó los billetes, y los guardó.

Hablamos de la India, de las Orcadas y de los jarls noruegos que las rigieron. Era de noche cuando el hombre se fue. No he vuelto a verlo ni sé su nombre.

Pensé guardar el Libro de Arena en el hueco que había dejado el Wiclif, pero opté al fin por esconderlo detrás de unos volúmenes descalabrados de Las mil y una noches.

Me acosté y no dormí. A las tres o cuatro de la mañana prendí la luz. Busqué el libro imposible, y volví las hojas. En una de ellas vi grabada una máscara. En ángulo llevaba una cifra, ya no sé cuál, elevada a la novena potencia.

No mostré a nadie mi tesoro. A la dicha de poseerlo se agregó el temor de que lo robaran, y después el recelo de que no fuera verdaderamente infinito. Esas dos inquietudes agravaron mi ya vieja misantropía.

Me quedaban unos amigos; dejé de verlos. Prisionero del Libro, casi no me asomaba a la calle. Examiné con una lupa el gastado lomo y las tapas, y rechacé la posibilidad de algún artificio. Comprobé que las pequeñas ilustraciones distaban dos mil páginas una de otra. Las fui anotando en una libreta alfabética, que no tardé en llenar. Nunca se repitieron. De noche, en los escasos intervalos que me concedía el insomnio, soñaba con el libro.

Declinaba el verano, y comprendí que el libro era monstruoso. De nada me sirvió considerar que no menos monstruoso era yo, que lo percibía con ojos y lo palpaba con diez dedos con uñas. Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena que infamaba y corrompía la realidad.

Pensé en el fuego, pero temí que la combustión de un libro infinito fuera parejamente infinita y sofocara de humo al planeta.

Recordé haber leído que el mejor lugar para ocultar una hoja es un bosque. Antes de jubilarme trabajaba en la Biblioteca Nacional, que guarda novecientos mil libros; sé que a mano derecha del vestíbulo una escalera curva se hunde en el sótano, donde están los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para perder el Libro de Arena en uno de los húmedos anaqueles. Traté de no fijarme a qué altura ni a qué distancia de la puerta.

Siento un poco de alivio, pero no quiero ni pasar por la calle México.

Software interactivo de geometría plana con multiples aplicaciones

   Recuerdo que una de las materias que cursé en el profesorado fue elementos de computación. Algunos de los programas que aprendí a manejar en aquellas clases fueron Cabri, Winfun, Derive y aplicaciones del paquete office. En general son programas bastante amigables y con un poco de dedicación se los puede dominar fácilmente. Luego, y de modo particular, tuve la oportunidad de conocer un programa como Matlab, un potente sistema que se emplea más que nada en resolución de matrices, métodos numéricos y/o ingeniería.

    Hoy les quiero comentar acerca de un software interactivo de aplicaciones en diversas áreas de la matemática. Geogebra es un novedoso programa de múltiples funciones. Existe una distancia importante entre las posibilidades que te brinda este programa y la de la mayoría de los que circulan en el mercado, la razón de esto lo hace todavía más atractivo. Es Wiki, es decir software libre. Entre sus novedosas funciones podemos mencionar la posibilidad de interactuar de manera dinámica a través de la Web, permitiéndote subir los trabajos a la red, para luego poder operar con ellos desde cualquier otra máquina (conectada a Internet), sin la necesidad de tener instalado el programa. A continuación les presento un ejemplo muy sencillo de esta aplicación.










Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


   Numerosos ejemplos de planillas dinámicas acá

   Si estas interesado en este software y lo querés instalar en tu máquina pincha acá

Un espacio de cuatro dimensiones



   Tomémonos un minuto y analicemos un espacio de cuatro dimensiones. Si lo consideramos desde la perspectiva de la geometría más antigua y difundida "la geometría métrica", la misma que estudiamos desde la primaria, podemos afirmar que esta fundamenta sus contenidos a través de una serie de axiomas entre los que se encuentran los conocidos axiomas de enlace o incidencia, que paso a enumerar a continuación:

Ax. 1 Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados “puntos”, cuyo conjunto llamaremos espacio.
Ax. 2 Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “planos” y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “rectas”.
Ax. 3 Por dos puntos distintos pasa una recta y sólo una.
Ax. 4 Por tres puntos no alineados pasa un plano y sólo uno.
Ax. 5 Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los demás puntos de la recta lo están también.


Carácter tridimensional del espacio sensible.

Hemos visto que una recta queda determinada por dos puntos, un plano por tres. La pregunta que nos podríamos hacer a continuación sería: ¿no podríamos admitir por analogía la existencia de nuevos conjuntos parciales de puntos del espacio determinados por cuatro, cinco, o más puntos y de propiedades análogas a las que hemos establecido axiomáticamente para las rectas y los planos?
En principio no hay nada que se oponga lógicamente a esto, considerando al espacio como un conjunto abstracto de puntos (de hecho así se estudia las variedades lineales en el espacio de n dimensiones). Entonces podemos admitir, provisionalmente, la existencia de nuevos conjuntos parciales de infinitos puntos del espacio llamados hiperplanos que cumplan con los siguientes axiomas.

Ax. 4’ Por cuatro puntos no coplanarios pasa un hiperplano y solo uno.
Ax. 5’ Todo plano que contiene tres puntos no alineados en un hiperplano, tiene en el todos los demás.

Además deberíamos modificar el Ax. 2 que a partir de ahora tomaría en consideración a los hiperplanos.

Ahora, si bien con estos axiomas podríamos demostrar la determinación del hiperplano, llegaríamos también a consecuencias curiosas como la que sigue:

Existen pares de planos que tienen un solo punto en común.

Consideremos, en efecto, el plano determinado por tres puntos no alineados ABC y el hiperplano ABCD determinados por aquellos y un nuevo punto D exterior al plano ABC. Si, como hemos supuesto, el hiperplano ABCD es un conjunto parcial de puntos del espacio, podemos elegir otro punto D’ fuera de él, y definir otro hiperplano ABCD’ distinto del ABCD.
Es fácil ver ahora que los planos ABC y ADD’ no pueden tener más puntos en común que A; pues si tuvieran otro punto común, llamémoslo P, el hiperplano ABCD contendría P por contener ABC (ax. 5’) y por consiguiente contendría también al plano ADP (el punto P no puede estar en la recta AD, porque en tal caso la recta APD pertenecería al plano ABC, en el que estaría situado D, contra la hipótesis) que es el mismo ADD’ (por estar p en dicho plano). En consecuencia el hiperplano ABCD contendría D’ contra lo supuesto.

Esta consecuencia choca con la intuición que tenemos de las propiedades de nuestro espacio sensible.
Saludos.


Arche de la Defense. Paris

Para reflexionar



   Quisiera comentarles como fue mi primer acercamiento a la obra de Carl Sagan.

   Desde siempre algo que me llamó la atención fue la astronomía, incluso antes de que me interese por los números me impresionaba el hecho de que el mirar el cielo, en una noche estrellada, pudiera representar un viaje a través del tiempo y que un simple cambio de ángulo en la dirección de la mirada, me transporte a un tiempo diferente sin saber siquiera si lo que estoy viendo sigue allí, se movió o simplemente ya no está más.
Por aquel entonces Carl Sagan era un astrónomo popularmente conocido. Recuerdo que su obra más comentada se titulaba Cosmos la cual lleva el mismo nombre que una serie de televisión que el mismo había producido. Mi pretensión era proveerme de un ejemplar pero el alto costo del mismo no me lo permitía.
Un día estaba comprando en un supermercado y veo en una góndola de textos en liquidación un libro titulado miles de millones, el simple enunciado me llamó la atención, cuando lo tomo puedo apreciar que su autor era Carl Sagan estos dos hechos sumado a que el costo era insignificante me convencieron de llevarlo.
Es hasta hoy en día que tengo este libro entre los más apreciados de mi biblioteca. Pero lo anecdótico es que no se trata de un libro de astronomía sino más bien un compilado de diversos artículos referidos a las cantidades (cuantificación), al cuidado del medio ambiente, la ética, la naturaleza del ser humano, y demás. Este fue precisamente el último libro que escribió Sagan y se editó en forma póstuma. Entre sus últimos capítulos y de manera conmovedora relata como se enteró de su enfermedad y que postura tomo frente a la misma. A continuación quisiera compartir algunas frases presentes en el libro que me resultaron interesantes.

   No puede existir un lenguaje más universal y simple, más carente de errores y oscuridades, y por lo tanto más apto para expresar las relaciones invariantes de las cosas naturales... Las matemáticas parecen constituir una facultad de la mente humana destinada a compensar la brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos.
Joseph Fourier.

   La humanidad gusta de pensar en términos de extremos opuestos. Esta acostumbrada a formular sus creencias bajo la forma de "o esto o lo otro", entre los que no reconoce posibilidades intermedias. Cuando se la fuerza a reconocer que no cabe optar por los extremos, todavía sigue inclinada a mantener que son válidos en teoría, pero que en las cuestiones prácticas las circunstancias nos obligan a un compromiso.
John Dewey.

   Todo lo moralmente justo deriva de una de estas cuatro fuentes: la percepción plena o la deducción inteligente de lo que es cierto, la preservación de una sociedad organizada donde cada hombre reciba lo que merece y todas las obligaciones sean fielmente cumplidas, la grandeza y la fuerza de un espíritu noble e invencible, o el orden y la moderación en todo lo dicho y hecho, es decir, la templanza y el dominio de uno mismo.
Cicerón.

El arte y la matemática

   Les presento a Mark Rothko el expresionista abstracto por excelencia. Siempre me llamó la atención el arte moderno y en particular la pintura moderna. Aunque debo confesar que en un principio me causaba un poco de rechazo. Cada vez que visitaba el museo de bellas artes me maravillaba con la pintura clásica y me indignaba con la pintura moderna (pero no por esto dejaba de visitar este sector). Todavía me espanto cuando veo una tabla de lavar clavada en un cuadro pero ya no me sucede lo mismo con el expresionismo de Rothko. Creo que al principio no lo entendía y aunque hoy día sigo sin poder llegar a ese estado de trance místico que se le atribuye a su pintura, de a poco me voy acostumbrando a sus formas y colores. Tal vez sea esto lo que generalmente nos pasa cuando nos enfrentamos a la matemática por primera vez. No podemos apreciar su encanto con solo ver números y símbolos desconocidos entrelazándose. De a poco nos tenemos que ir acostumbrando a sus reglas, a sus principios, a sus razonamientos lógicos y luego de un tiempo, casi sin darnos cuenta, vemos como se van formando las ecuaciones, se concatenan los teoremas y aparece ante nuestros ojos un nuevo paisaje. Un paisaje cargado de formas, relaciones y simetrías. Un paisaje matemático.

Por algún lado encontré esta adivinanza, ¿se animan a descubrir de que está hablando?

"Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros.
Cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros"

Lo curioso es que se puede descubrir de que se está hablando, aún cuando no le prestemos demasiada atención a lo que dice, ¿te diste cuenta?

Carl Friedrich Gauss, el principe de los matemáticos.



   La nueva elaboración y desarrollo de la Aritmética sistemática, así como casi todas las otras cosas que ha producido, aparte de la Matemática, nuestro siglo (XIX) en la forma de ideas científicas originales, están ligadas a Gauss.
Leopold Kronecker

Johann Friederich Carl Gauss (más conocido como Carl Friedrich Gauss).

   Primero antes de hablar de Gauss hay que sacarse el sombrero. Como no uso sombrero al menos permítanme hacer una reverencia.

   Lo que podemos conocer del origen de Gauss es que perteneció a una familia humilde, se dice de su padre que era un hombre brusco e ignorante, de profesión jardinero (también hacia trabajos de albañilería) y pretendía para su hijo que siguiera su misma actividad. Su madre, por el contrario, procuraba para Gauss un futuro diferente. Fue justamente en ella donde encontró el apoyo necesario que le permitiría realizarse.

   Gauss demostró su capacidad desde muy joven. Con tan solo tres años se permitió corregir los cálculos que realizaba su padre cuando éste elaboraba la nómina de sus empleados. En particular se cuenta la anécdota de que a los 10 años, cuando fue admitido en la clase de aritmética, sorprendió a todos por la rapidez y procedimiento seguido en la resolución de un problema del tipo "Halla la suma de los 100 primeros números enteros". Gauss agrupó los números en 50 parejas de números que sumaban 101 cada una. (Hay distintas versiones de esta anécdota pero todas ellas coinciden en que en ese momento se abrió la puerta a través de la cual Gauss pasaría a la inmortalidad).

   En los años siguientes sus aportes fueron en aumento, a modo de síntesis y solo por mencionar alguno de ellos nombro los siguientes: Hizo aportes al desarrollo del teorema del binomio de Newton; formuló el método de los mínimos cuadrados; dio los primeros pasos en dirección a una geometría diferente a la de Euclides; impulsó el rigor matemático en el análisis; sometió a la crítica muchas de las demostraciones en la teoría de números que habían dejado satisfecho a sus predecesores y se entregó a la difícil tarea de llenar las lagunas y completar lo que había sido hecho a medias, etc.

   A la edad de 19 años Gauss logró resolver un problema que llevaba más de 2000 años en la matemática, la construcción del polígono regular de 17 lados. Los primeros en tratar el tema, la escuela geométrica ligada a Pitágoras, Eudoxio, Euclides y Arquímedes, impusieron para las construcciones geométricas la condición de que sólo podría utilizarse regla y compás. Gauss no sólo logró la construcción del polígono de 17 lados, también encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método, demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Esta técnica utilizada para la demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial (la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo en este último.
Su tesis de doctorado contiene una demostración de que toda ecuación polinómica, posee al menos una raíz, cualquiera que sea la naturaleza real o imaginaria de los coeficientes de la ecuación. A este enunciado se lo conoce hoy día como el teorema fundamental del álgebra.

   En 1801, cuando contaba con 24 años, Gauss publicó su primera gran obra "Disquisitiones Arithmeticae", obra tan importante para la teoría de los números como la obra de Euclides para la geometría.

   Gauss solía decir de su juventud que era tal la cantidad de nuevas ideas que venían a su mente que difícilmente le alcanzaba el tiempo para poder anotarlas.

   Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección. Al respecto de esto el decía:

   “La obra por sí debe ser completa, sencilla y convincente, sin que pueda encontrarse signo alguno que indique el trabajo que ha costado lograrla... Una catedral no esta terminada hasta que ha desaparecido de la vista el último de sus andamios”

   Su sello, un árbol con pocos frutos, lleva el lema “Pocos pero maduros”.

   En particular, no creo que hayan sido pocos.

Para profundizar
Fuente: "Los grandes matemáticos" Eric Temple Bell

   A continuación pretendía elaborar la construcción del heptadecágono regular con regla y compás, pero no creo poder ser más claro de como se lo muestra en el video, por lo tanto me permito hacer esta humilde observación.

   De la famosa anécdota de la infancia de Gauss se desprende lo que se conoce como la fórmula de Gauss para la suma de n números consecutivos, en particular podemos apreciar que está es la misma fórmula que genera los números triangulares. Al respecto de esto podemos agregar el curioso hecho que dado dos números triangulares consecutivos, su suma siempre da como resultado un número cuadrado. Saludos.

Método del descenso infinito

   Habitualmente cuando queremos demostrar algo, en el campo de la matemática, contamos con distintos métodos que nos permiten hacerlo: demostración directa, por reducción al absurdo, por inducción, por contraejemplo…etc.

   La preferencia de un método por sobre los demás depende de la naturaleza del problema en estudio, pero en principio todos son perfectamente válidos siempre que los argumentos lógicos que utilicemos dentro de ellos sean correctos.

   En relación con el artículo anterior quiero presentar un método de demostración denominado descenso infinito. Se cree que el primero en utilizar esta técnica fue Fermat y que lo aplicó para demostrar el caso particular donde n = 4 del mismo teorema que lleva su nombre.

   En general se utiliza para demostrar afirmaciones del tipo no P(n) para cada n dentro del conjunto de los números naturales o dentro de un subconjunto de este y para esto se vale del principio del buen ordenamiento de los números naturales, el cual afirma que, todo subconjunto del conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, ergo, el método de descenso infinito consiste en afirmar lo siguiente:

   Si existe un subconjunto de N tal que P(n) sea verdadera, entonces, deberá existir un elemento mínimo x dentro de N tal que P(x) sea verdadera. Luego el método consiste en demostrar que el hecho de tratar de encontrar este valor mínimo x nos lleva necesariamente a otro valor y que responde a la misma lógica, lo cual dejará en una condición de descenso infinito al elemento mínimo buscado.
Como el principio del buen ordenamiento es una condición necesaria en el conjunto de las supuestas n que hacen a P(n) verdadera y como el descenso infinito prueba que el principio del buen ordenamiento falla, se concluye que no existe n que satisfaga la proposición P.

   Veámoslo mejor con un ejemplo:

   Demostraremos que si v , w son coprimos y vw es un cuadrado, entonces v y w son cuadrados. Haremos esto demostrando que es imposible que existan enteros positivos v y w tal que:

1.- v y w sean coprimos.
2.- vw es un cuadrado.
3.- v y w no son ambos cuadrados.

   Demostración:

   Supondremos q v no es un cuadrado (para el caso de w es lo mismo). En particular v es distinto de 1. Por tanto v es divisible al menos por un número primo.
Esto es: v = Pk
Entonces vw = Pkw (además dijimos que vw es cuadrado: vw = u²)
por lo tanto: u² = Pkm

y por las propiedades de los números primos: u = Pm

Entonces la igualdad vw = u² se puede rescribir así:
Pkw = (Pm)² = P²m² que implica que kw = Pm²
Como P divide al lado derecho de la igualdad también divide al izquierdo. Por la propiedad de los números primos utilizada anteriormente se tiene que P divide a k o a w. Pero P no puede dividir a w porque v y w son coprimos y P divide a v. Por tanto P divide a k, digamos k = Pv’.

Entonces kw = Pm² nos lleva a Pv’w = Pm², que implica v’w = m²

Como v = Pk = P²v’, algún divisor de v’ es también divisor de v, y por tanto v’ y w no pueden tener divisores comunes más grandes que 1 (recordemos que v y w son coprimos). Además si v’ fuese un cuadrado entonces v = P²v’ sería un cuadrado, pero no lo es (es nuestra suposición inicial). Por tanto v’ no es un cuadrado.
Así los números v’ y w cumplen las propiedades 1.-, 2.- y 3.-
El mismo argumento nos lleva a otro entero positivo v’’ tal que v’’ y w cumplen también esas tres propiedades. Repitiendo este proceso indefinidamente tendríamos entonces una sucesión de enteros positivos v > v’ > v’’ > … que decrece indefinidamente. Como esto es imposible (los números enteros positivos no pueden decrecer indefinidamente) se tiene que es imposible que dos enteros positivos v y w tengan las tres propiedades anteriores, y por tanto este método prueba el enunciado.

   Otros resultados que se pueden demostrar con este método (y que parece ser que el propio Fermat demostró con él) son:

1.- Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado.
2.- Todo número primo de la forma 4n + 1 se puede poner como suma de dos cuadrados de una y sólo una forma.
3.- El caso n = 4 del último teorema de Fermat.

Saludos.

Pierre de Fermat. El más grande aficionado de la matemática.



Para profundizar
Fuente: "Los grandes matemáticos" Eric Temple Bell


Andrew Wiles

   Uno entra en la primera habitación de una mansión y está en la oscuridad. En una oscuridad completa. Vas tropezando y golpeando los muebles, pero poco a poco aprendes dónde está cada elemento del mobiliario. Al fin, tras seis meses más o menos, encuentras el interruptor de la luz y de repente todo está iluminado. Puedes ver exactamente dónde estás. Entonces vas a la siguiente habitación y te pasas otros seis meses en las tinieblas. Así, cada uno de estos progresos, aunque a veces son muy rápidos y se realizan en un solo día o dos, son la culminación de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los que el avance sería imposible. Andrew Wiles.

   Andrew Wiles es el que finalmente logra dar con una demostración general para el último teorema de Fermat. Para esto se apoyó en unas técnicas matemáticas modernas de un alto grado de abstracción, esto lo llevo a pasar cerca de ocho años de su vida en completo aislamiento con el propósito de resolver este problema. Su demostración es tan compleja y extensa que al momento de presentarla su manuscrito original tenía más de 100 páginas. Se cree que esta demostración no puede ser la misma que decía poseer Fermat dado que para aquella época se desconocía de estas técnicas basadas en formas modulares y curvas elípticas. Un hecho anecdótico de todo esto es que Wiles expone su demostración en el instituto Isaac Newton, de la Universidad de Cambridge a la edad de 40 años y lamentablemente esta tenía un error. Wiles no pudo solucionar este error de inmediato y luego de más de un año de trabajo logró subsanar esta falla, pero para ese entonces ya era mayor de 40 años y ésta es la edad límite para aquellos aspirantes a la medalla fields, el equivalente al premio Novel en la matemática. Finalmente Wiles recibe a cambio y de manera honorífica la placa de plata de la Unión Internacional de las Matemáticas en Berlín.

   A continuación les presento un conmovedor documental de la BBC basado en una entrevista a Andrew Wiles, en donde el protagonista cuenta como se fueron dando los acontecimientos que culminaron con la resolución del problema matemático más famoso del mundo. Saludos.