¿Por qué menos por menos da más?

   Cuando estudiamos matemática (y cuando enseñamos también) a muchos de nosotros nos agrada que todo aquello de lo que estamos viendo tenga una demostración y no solo aceptar de buena fe lo que de nuestros educadores parte. Si bien esto casi siempre es así, hay situaciones en donde la justificación se deja de lado y se pasa directamente a la enunciación de una regla de la cual desconocemos su origen o cuanto menos una simple explicación de porqué es así.

   Un ejemplo de esto es la tan conocida regla de los signos para el producto y la división (está última es la operación inversa de la multiplicación y por lo tanto su justificación se desprende a partir de la de esta) y en particular el caso de que menos por menos da más.

   ¿Cómo puede ser que dado dos números negativos cuando los multiplico se conviertan automáticamente en un número positivo?

   Generalmente se asocia a la multiplicación con el hecho de hacer crecer o incrementar ya sea un valor positivo o una deuda, por lo cual este caso se manifiesta contrario a la intuición que tenemos de esta operación.

   Veamos ahora algunas justificaciones al respecto de esto:

   Por algún lado escuché la siguiente analogía.

Los amigos de mis amigos son mis amigos
Los amigos de mis enemigos son mis enemigos
Los enemigos de mis amigos son mis enemigos
Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos

   Esta podría ser una original forma de justificar una regla matemática, si no fuera porque de matemática tiene muy poco. Así que traté de investigar un poco más y encontré lo siguiente:

3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco dólares tienes 15 dólares.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco dólares es como pagar una multa de 15 dólares.
(-3) × 5 = -15: Que no te den tres veces cinco dólares es como que no te den 15 dólares.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco dólares es como que te den 15 dólares.

Israel Geland. "The Riemann Hypothesis. The Greatest Unsolved Problem in Mathematics".


   Bueno va mejorando, pero hay más. En un programa de televisión (Científicos Industria Argentina) escuché la siguiente justificación a este mismo tema:

Imaginemos que vamos conduciendo un vehículo por una ruta a cuarenta kilómetros por hora, al cabo de tres horas recorrimos:

3 x 40 = 120 (kilómetros hacia delante)

De manera similar podemos analizar que si venimos andando desde hace tiempo y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas:

(-3) x 40 = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y si en vez de ir hacia delante íbamos marcha atrás. Al cabo de tres horas habremos recorrido:

3 x (-40) = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y ahora: ¿si venimos andando desde hace tiempo pero marcha atrás y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas?

(-3) x (-40) = 120 (kilómetros hacia delante)


   Todo esto está muy bonito, pero para aquellos que todavía no se convencieron y quieren algo con más fundamento matemático paso a dar la siguiente demostración del caso particular menos por menos (los otros tres casos se deducen sin dificultad de la definición de producto en naturales y la propiedad conmutativa de la multiplicación).

-1 es el inverso aditivo del 1, entonces, por definición se verifica

1 + (-1) = 0
Multiplicamos por (-1):
(-1)(1 + (-1)) = (-1)0
Pero 0 por cualquier cosa es 0
(-1)(1 + (-1)) = 0
Por ley de distributiva de la multiplicación en la suma
(-1) + (-1)(-1) = 0
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
1 + (-1) + (-1)(-1) = 1
Como 1 + (-1) = 0 entonces
0 + (-1)(-1) = 1
Entonces
(-1)(-1) = 1

Ahora, todo número real -p < 0 se puede expresar por (-1)p. Entonces si multiplicamos dos números con signo negativo se verifica

(-p)(-q) = (-1)p(-1)q

Por ley conmutativa en la multiplicación eso equivale a
(-p)(-q) = (-1)(-1)pq

Pero (-1)(-1) = 1, entonces
(-p)(-q) = 1pq

pero 1 es el neutro multiplicativo, entonces
(-p)(-q) = pq


   Aunque pareciera que el tema ya está agotado y no hay más secretos respecto del mismo, les comento que a lo largo de la historia de la matemática esta cuestión ha sido analizada por muchos de sus representantes más destacados.
   A continuación agrego un documento bastante completo que hace referencia acerca de esto.

15 comentarios:

  1. Agradezco tu comentario, y he estado mirando tu blog y lo he encontrado entretenido, ojalá cada día existan más de estos espacios, pero lo más importante es difundir estas iniciativas entre gente que no sea matemática, en una de esas algún blog o algún artículo despierta la curiosidad por esta disciplina a los que no les gusta la matemática.
    Por otra parte insertar los applets de geogebra es sencillo si es que sigues una serie de pasos. Si quieres me envías tu correo y te escribo el paso a paso, saludos

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  2. Muy bueno el artículo, además te agradezco tu comentario. Tu blog me parece muy entretenido y espero que sigas publicando cosas interesantes. Con respecto a los applets de geogebra insertarlos en el blog es sencillo si sigues una serie de pasos, si quieres envíame tu correo y te envío el paso a paso, saludos y felicitaciones

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  3. Me gustó mucho tu blog y en especial este artículo me parece bastante curioso. Felicidades por tu trabajo y gracias por agregarme en tus enlaces, yo también lo haré.
    Un saludo.

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  4. gracias esto me sirvio!!!! lo necesitaba pa un trabajo..XD

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  5. muy bueno y me ayudo en mi tarea gracias en verdad

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  6. sigue asi amigo pocos como tu suben hoy en dia cosas que valgan la pena

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  7. wow muy bueno el blog, me pregunto si esta ley de los signos tendra algo que ver con la suma de numeros naturales:
    par + par= par
    non + par= non
    non + non= par

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  8. Gracias! Excelente trabajo! :D

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  9. leí el documento antes mencionado, peo gracias por ponerlo en palabras de simples mortales :)

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  10. Realmente exelente, es un muy buen aporte!Sumamente útil y sencillo lo cual lo hace mas interesante! Felicitaciones!
    Juliana

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  11. Sea "a" del conjunto de los naturales
    Al utilizar la desigualdad a>-1, al multiplicar por (-1) ambos lados se obtiene
    a.-1 <-1.-1

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  12. He visto a lo largo de este tiempo algunas explicaciones un tanto sencillas
    pero hace tiempo que venia recordando, una explicación un tanto compleja pero consistente:
    vamos a considerar el desconocimiento de enteros y los definimos con
    Pares del producto NxN (a,b)
    donde (a-b) es un entero
    (9,7)=> 9-7=+2
    (3,9)=>3-9=(-6)
    Suma: regla (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
    (5,9) = -4
    +
    (4,6) = -2
    (5+4,9+6)=(9,15)
    (9,15) = -6
    Producto: regla (a,b)*(c,d) = (a*c+b*d,a*d+b*c)
    (5,9) = -4
    por
    (4,6) = -2
    (5*4+9*6,5*6+9*4)=(20+54,30+36)=(74,66)
    (74,66) = +8
    Es la explicación analítica con un producto cartesiano en NxN
    Pero por facilidad y didáctica solo se enuncia como “regla o ley” de signos
    +*+=+
    +*-=-
    -*+=-
    -*-=+

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  13. Pares del producto NxN (a,b)
    donde (a-b) es un entero
    (9,7)=> 9-7=+2
    (3,9)=>3-9=(-6)
    Suma: regla (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
    (5,9) = -4
    +
    (4,6) = -2
    (5+4,9+6)=(9,15)
    (9,15) = -6
    Producto: regla (a,b)*(c,d) = (a*c+b*d,a*d+b*c)
    (5,9) = -4
    por
    (4,6) = -2
    (5*4+9*6,5*6+9*4)=(20+54,30+36)=(74,66)
    (74,66) = +8
    Es la explicación analítica con un producto cartesiano en NxN
    Pero por facilidad y didáctica solo se enuncia como “regla o ley” de signos
    +*+=+
    +*-=-
    -*+=-
    -*-=+

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  14. Muchas gracias!!
    Tenía 3 horas intentando demostrar que (-a)(-b) = ab con axiomas.
    Pero no sabía como demostrar que (-)(-) = (+)

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