Un espacio de cuatro dimensiones



   Tomémonos un minuto y analicemos un espacio de cuatro dimensiones. Si lo consideramos desde la perspectiva de la geometría más antigua y difundida "la geometría métrica", la misma que estudiamos desde la primaria, podemos afirmar que esta fundamenta sus contenidos a través de una serie de axiomas entre los que se encuentran los conocidos axiomas de enlace o incidencia, que paso a enumerar a continuación:

Ax. 1 Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados “puntos”, cuyo conjunto llamaremos espacio.
Ax. 2 Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “planos” y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “rectas”.
Ax. 3 Por dos puntos distintos pasa una recta y sólo una.
Ax. 4 Por tres puntos no alineados pasa un plano y sólo uno.
Ax. 5 Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los demás puntos de la recta lo están también.


Carácter tridimensional del espacio sensible.

Hemos visto que una recta queda determinada por dos puntos, un plano por tres. La pregunta que nos podríamos hacer a continuación sería: ¿no podríamos admitir por analogía la existencia de nuevos conjuntos parciales de puntos del espacio determinados por cuatro, cinco, o más puntos y de propiedades análogas a las que hemos establecido axiomáticamente para las rectas y los planos?
En principio no hay nada que se oponga lógicamente a esto, considerando al espacio como un conjunto abstracto de puntos (de hecho así se estudia las variedades lineales en el espacio de n dimensiones). Entonces podemos admitir, provisionalmente, la existencia de nuevos conjuntos parciales de infinitos puntos del espacio llamados hiperplanos que cumplan con los siguientes axiomas.

Ax. 4’ Por cuatro puntos no coplanarios pasa un hiperplano y solo uno.
Ax. 5’ Todo plano que contiene tres puntos no alineados en un hiperplano, tiene en el todos los demás.

Además deberíamos modificar el Ax. 2 que a partir de ahora tomaría en consideración a los hiperplanos.

Ahora, si bien con estos axiomas podríamos demostrar la determinación del hiperplano, llegaríamos también a consecuencias curiosas como la que sigue:

Existen pares de planos que tienen un solo punto en común.

Consideremos, en efecto, el plano determinado por tres puntos no alineados ABC y el hiperplano ABCD determinados por aquellos y un nuevo punto D exterior al plano ABC. Si, como hemos supuesto, el hiperplano ABCD es un conjunto parcial de puntos del espacio, podemos elegir otro punto D’ fuera de él, y definir otro hiperplano ABCD’ distinto del ABCD.
Es fácil ver ahora que los planos ABC y ADD’ no pueden tener más puntos en común que A; pues si tuvieran otro punto común, llamémoslo P, el hiperplano ABCD contendría P por contener ABC (ax. 5’) y por consiguiente contendría también al plano ADP (el punto P no puede estar en la recta AD, porque en tal caso la recta APD pertenecería al plano ABC, en el que estaría situado D, contra la hipótesis) que es el mismo ADD’ (por estar p en dicho plano). En consecuencia el hiperplano ABCD contendría D’ contra lo supuesto.

Esta consecuencia choca con la intuición que tenemos de las propiedades de nuestro espacio sensible.
Saludos.


Arche de la Defense. Paris

1 comentario:

  1. Te cuento que se estan repitiendo los capitulos de Cosmos por el canal encuentro. Estan muy interesantes. Un abrazo

    ResponderEliminar

Me interesa tu opinión