Método del descenso infinito

   Habitualmente cuando queremos demostrar algo, en el campo de la matemática, contamos con distintos métodos que nos permiten hacerlo: demostración directa, por reducción al absurdo, por inducción, por contraejemplo…etc.

   La preferencia de un método por sobre los demás depende de la naturaleza del problema en estudio, pero en principio todos son perfectamente válidos siempre que los argumentos lógicos que utilicemos dentro de ellos sean correctos.

   En relación con el artículo anterior quiero presentar un método de demostración denominado descenso infinito. Se cree que el primero en utilizar esta técnica fue Fermat y que lo aplicó para demostrar el caso particular donde n = 4 del mismo teorema que lleva su nombre.

   En general se utiliza para demostrar afirmaciones del tipo no P(n) para cada n dentro del conjunto de los números naturales o dentro de un subconjunto de este y para esto se vale del principio del buen ordenamiento de los números naturales, el cual afirma que, todo subconjunto del conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, ergo, el método de descenso infinito consiste en afirmar lo siguiente:

   Si existe un subconjunto de N tal que P(n) sea verdadera, entonces, deberá existir un elemento mínimo x dentro de N tal que P(x) sea verdadera. Luego el método consiste en demostrar que el hecho de tratar de encontrar este valor mínimo x nos lleva necesariamente a otro valor y que responde a la misma lógica, lo cual dejará en una condición de descenso infinito al elemento mínimo buscado.
Como el principio del buen ordenamiento es una condición necesaria en el conjunto de las supuestas n que hacen a P(n) verdadera y como el descenso infinito prueba que el principio del buen ordenamiento falla, se concluye que no existe n que satisfaga la proposición P.

   Veámoslo mejor con un ejemplo:

   Demostraremos que si v , w son coprimos y vw es un cuadrado, entonces v y w son cuadrados. Haremos esto demostrando que es imposible que existan enteros positivos v y w tal que:

1.- v y w sean coprimos.
2.- vw es un cuadrado.
3.- v y w no son ambos cuadrados.

   Demostración:

   Supondremos q v no es un cuadrado (para el caso de w es lo mismo). En particular v es distinto de 1. Por tanto v es divisible al menos por un número primo.
Esto es: v = Pk
Entonces vw = Pkw (además dijimos que vw es cuadrado: vw = u²)
por lo tanto: u² = Pkm

y por las propiedades de los números primos: u = Pm

Entonces la igualdad vw = u² se puede rescribir así:
Pkw = (Pm)² = P²m² que implica que kw = Pm²
Como P divide al lado derecho de la igualdad también divide al izquierdo. Por la propiedad de los números primos utilizada anteriormente se tiene que P divide a k o a w. Pero P no puede dividir a w porque v y w son coprimos y P divide a v. Por tanto P divide a k, digamos k = Pv’.

Entonces kw = Pm² nos lleva a Pv’w = Pm², que implica v’w = m²

Como v = Pk = P²v’, algún divisor de v’ es también divisor de v, y por tanto v’ y w no pueden tener divisores comunes más grandes que 1 (recordemos que v y w son coprimos). Además si v’ fuese un cuadrado entonces v = P²v’ sería un cuadrado, pero no lo es (es nuestra suposición inicial). Por tanto v’ no es un cuadrado.
Así los números v’ y w cumplen las propiedades 1.-, 2.- y 3.-
El mismo argumento nos lleva a otro entero positivo v’’ tal que v’’ y w cumplen también esas tres propiedades. Repitiendo este proceso indefinidamente tendríamos entonces una sucesión de enteros positivos v > v’ > v’’ > … que decrece indefinidamente. Como esto es imposible (los números enteros positivos no pueden decrecer indefinidamente) se tiene que es imposible que dos enteros positivos v y w tengan las tres propiedades anteriores, y por tanto este método prueba el enunciado.

   Otros resultados que se pueden demostrar con este método (y que parece ser que el propio Fermat demostró con él) son:

1.- Ningún triángulo rectángulo puede tener como área un cuadrado.
2.- Todo número primo de la forma 4n + 1 se puede poner como suma de dos cuadrados de una y sólo una forma.
3.- El caso n = 4 del último teorema de Fermat.

Saludos.

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